Trắc nghiệm Toán học 12 Kết nối bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc $A$ là $(0,0)$, trục $Ax$ trùng với đường thẳng $AB$, trục $Ay$ trùng với đường thẳng $AC$. Tại thời điểm $t$ (giờ) sau khi khởi hành, xe ô tô ở vị trí $P(t)$ trên trục $Ax$. Khoảng cách từ $A$ đến $P(t)$ là $40t$. Tọa độ của $P(t)$ là $(40t, 0)$. Xe máy ở vị trí $Q(t)$ trên trục $Ay$. Khoảng cách từ $C$ đến $Q(t)$ là $30t$. Vì $C$ cách $A$ $60\ km$ và xe máy đi về phía $D$ (theo hướng dương trục $Ay$), tọa độ của $Q(t)$ là $(0, 60 - 30t)$. Ta cần tìm thời điểm $t$ để khoảng cách giữa hai xe, $PQ$, là nhỏ nhất. Khoảng cách $PQ$ là độ dài đoạn thẳng nối $P(t)$ và $Q(t)$. $PQ^2 = (40t - 0)^2 + (0 - (60 - 30t))^2 = (40t)^2 + (30t - 60)^2 = 1600t^2 + 900t^2 - 3600t + 3600 = 2500t^2 - 3600t + 3600$. Gọi $f(t) = PQ^2 = 2500t^2 - 3600t + 3600$. Khoảng cách $PQ$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $PQ^2$ nhỏ nhất. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $f(t)$ với $t \ge 0$. Đạo hàm $f'(t) = 5000t - 3600$. Cho $f'(t) = 0 \Rightarrow 5000t = 3600 \Rightarrow t = \frac{3600}{5000} = \frac{36}{50} = \frac{18}{25} = 0.72$. Xét dấu $f'(t)$ trên $[0, +\infty)$, ta thấy $f'(t) < 0$ khi $0 \le t < 0.72$ và $f'(t) > 0$ khi $t > 0.72$. Hàm số $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = 0.72$. Đơn vị thời gian là giờ. Kết luận Khoảng cách giữa hai xe là nhỏ nhất sau $0,72$ giờ.

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là $x$ và $y$ ($x, y > 0$). Chu vi là $2(x+y) = 40 \Rightarrow x+y = 20 \Rightarrow y = 20-x$. Diện tích mảnh vườn là $S = xy = x(20-x) = 20x - x^2$. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $S(x) = 20x - x^2$ trên khoảng $(0, 20)$. Đạo hàm $S'(x) = 20 - 2x$. Cho $S'(x) = 0 \Rightarrow 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu $S'(x)$, ta thấy $S'(x) > 0$ khi $0 < x < 10$ và $S'(x) < 0$ khi $x > 10$. Hàm số $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 10$. Khi đó $y = 20 - 10 = 10$. Diện tích lớn nhất là $S(10) = 10 \times 10 = 100 \ m^2$. Kết luận Diện tích lớn nhất có thể rào được là $100\ m^2$.

Lợi nhuận thu được là $P(x) = R(x) - C(x) = (100x - 0.02x^2) - (20x + 10000) = 80x - 0.02x^2 - 10000$. Ta cần tìm giá trị $x \ge 0$ để $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất. Đạo hàm của hàm lợi nhuận là $P'(x) = 80 - 0.04x$. Cho $P'(x) = 0 \Rightarrow 80 - 0.04x = 0 \Rightarrow 0.04x = 80 \Rightarrow x = \frac{80}{0.04} = 2000$. Ta có $P''(x) = -0.04 < 0$ với mọi $x$. Do đó, hàm $P(x)$ đạt cực đại tại $x = 2000$. Vì đây là hàm bậc hai với hệ số của $x^2$ âm, cực đại chính là giá trị lớn nhất trên tập xác định $x \ge 0$. Kết luận Giải thích: $x = 2000$ sản phẩm.

Thể tích của thùng là $V = x^2h = 32000$. Từ đó suy ra $h = \frac{32000}{x^2}$. Diện tích toàn phần không nắp bao gồm diện tích đáy hình vuông và diện tích 4 mặt bên hình chữ nhật. Diện tích đáy là $x^2$. Diện tích mỗi mặt bên là $x \cdot h$. Tổng diện tích 4 mặt bên là $4xh$. Diện tích toàn phần không nắp là $S = x^2 + 4xh$. Thay $h = \frac{32000}{x^2}$ vào biểu thức của $S$: $S(x) = x^2 + 4x \left(\frac{32000}{x^2}\right) = x^2 + \frac{128000x}{x^2} = x^2 + \frac{128000}{x}$. Kết luận Biểu thức diện tích toàn phần là $S(x) = x^2 + \frac{128000}{x}$.

Gọi cạnh đáy là $x$ ($x > 0$) và chiều cao là $h$ ($h > 0$). Thể tích thùng là $V = x^2 h = 108 \Rightarrow h = \frac{108}{x^2}$. Diện tích bề mặt cần làm thùng (đáy + 4 mặt bên) là $A = x^2 + 4xh$. Thay $h = \frac{108}{x^2}$ vào, ta được $A(x) = x^2 + 4x \left(\frac{108}{x^2}\right) = x^2 + \frac{432}{x}$. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $A(x) = x^2 + \frac{432}{x}$ trên khoảng $(0, +\infty)$. Đạo hàm $A'(x) = 2x - \frac{432}{x^2}$. Cho $A'(x) = 0 \Rightarrow 2x - \frac{432}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 432 \Rightarrow x^3 = 216 \Rightarrow x = 6$. Xét dấu $A'(x)$, ta thấy $A'(x) < 0$ khi $0 < x < 6$ và $A'(x) > 0$ khi $x > 6$. Hàm số $A(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 6$. Khi đó $h = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3$. Kích thước cạnh đáy là $6\ m$ và chiều cao là $3\ m$. Kết luận Kích thước cạnh đáy là $6\ m$ và chiều cao là $3\ m$.

Doanh thu mỗi ngày là $R(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $R(x) = 100x - 2x^2$ trên đoạn $[10, 50]$. Đạo hàm $R'(x) = 100 - 4x$. Cho $R'(x) = 0 \Rightarrow 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$. Giá trị $x=25$ nằm trong đoạn $[10, 50]$. Xét dấu $R'(x)$, ta thấy $R'(x) > 0$ khi $10 \le x < 25$ và $R'(x) < 0$ khi $25 < x \le 50$. Hàm số $R(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 25$. Ta cũng có thể so sánh giá trị tại các mút và điểm cực trị: $R(10) = 10(100-20) = 800$, $R(25) = 25(100-50) = 25 \times 50 = 1250$, $R(50) = 50(100-100) = 0$. Giá trị lớn nhất là $1250$ tại $x=25$. Kết luận Cửa hàng cần bán mỗi món hàng với giá $25$ ngàn đồng.

Ta cần tìm giá trị của $t$ để hàm số $h(t) = 20t - 5t^2$ đạt giá trị lớn nhất. Miền xác định của $t$ là $[0, t_{max}]$ với $t_{max}$ là thời điểm vật chạm đất ($h(t_{max})=0$). $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow 5t(4-t) = 0 \Rightarrow t=0$ hoặc $t=4$. Vậy ta xét trên khoảng $[0, 4]$. Đạo hàm $h'(t) = 20 - 10t$. Cho $h'(t) = 0 \Rightarrow 20 - 10t = 0 \Rightarrow t = 2$. Xét dấu $h'(t)$, ta thấy $h'(t) > 0$ khi $0 \le t < 2$ và $h'(t) < 0$ khi $t > 2$. Hàm số $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = 2$. Kết luận Vật đạt độ cao lớn nhất sau $2\ s$.

Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t + 5) = 3t^2 - 12t + 9$. Để tìm thời điểm vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất, ta tìm cực tiểu của hàm vận tốc $v(t)$ cho $t > 0$. Lấy đạo hàm của $v(t)$: $v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 9) = 6t - 12$. Cho $v'(t) = 0$, ta có $6t - 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2$. Lập bảng biến thiên hoặc dùng đạo hàm cấp hai: $v''(t) = 6 > 0$. Vì $v''(2) > 0$, hàm $v(t)$ đạt cực tiểu tại $t=2$. Xét trên miền $t > 0$, hàm $v(t)$ giảm trên $(0, 2)$ và tăng trên $(2, +\infty)$, nên giá trị nhỏ nhất của $v(t)$ trên miền $t > 0$ đạt tại $t=2$. Kết luận Vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = 2$ giây.

Độ cao của vật được cho bởi hàm $h(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$. Thay $v_0 = 20$ và $g = 10$, ta có $h(t) = 20t - \frac{1}{2}(10)t^2 = 20t - 5t^2$. Vật được ném lên từ mặt đất và sẽ rơi trở lại mặt đất. Thời gian bay của vật được xác định bởi $h(t) = 0 \Rightarrow 20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow 5t(4-t) = 0 \Rightarrow t=0$ (thời điểm ném) hoặc $t=4$ (thời điểm chạm đất). Ta cần tìm thời điểm $t \in [0, 4]$ để $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất. Đạo hàm của hàm độ cao là $h'(t) = 20 - 10t$. Cho $h'(t) = 0 \Rightarrow 20 - 10t = 0 \Rightarrow 10t = 20 \Rightarrow t = 2$. Giá trị $t=2$ nằm trong đoạn $[0, 4]$. Ta có $h''(t) = -10 < 0$, nên hàm đạt cực đại tại $t=2$. Vì đây là hàm bậc hai với hệ số của $t^2$ âm, cực đại trên khoảng $(0,4)$ chính là giá trị lớn nhất trên đoạn $[0,4]$. Vậy vật đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm $t=2$ giây. Kết luận Giải thích: $t = 2$ giây.

Gọi chiều dài hai cạnh kề bờ sông là $x$ và chiều dài cạnh vuông góc với bờ sông là $y$. Diện tích mảnh đất là $x \cdot y = 1800$. Chiều dài hàng rào cần sử dụng là $L = x + 2y$. Từ $xy = 1800$, ta có $y = \frac{1800}{x}$ (với $x > 0$). Thay vào biểu thức chiều dài hàng rào: $L(x) = x + 2 \left(\frac{1800}{x}\right) = x + \frac{3600}{x}$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của $L(x)$, ta tính đạo hàm: $L'(x) = \frac{d}{dx}\left(x + \frac{3600}{x}\right) = 1 - \frac{3600}{x^2}$. Cho $L'(x) = 0$: $1 - \frac{3600}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 = 3600$. Vì $x > 0$, ta có $x = \sqrt{3600} = 60$. Lập bảng biến thiên hoặc dùng đạo hàm cấp hai: $L''(x) = \frac{d}{dx}\left(1 - 3600x^{-2}\right) = -3600 \cdot (-2)x^{-3} = \frac{7200}{x^3}$. Tại $x=60$, $L''(60) = \frac{7200}{60^3} > 0$, nên hàm $L(x)$ đạt cực tiểu tại $x=60$. Khi $x=60$, $y = \frac{1800}{60} = 30$. Chiều dài hàng rào ngắn nhất là $L(60) = 60 + 2(30) = 60 + 60 = 120$. Kết luận Tổng chiều dài hàng rào ngắn nhất là 120 m.

Thể tích hình trụ là $V = \pi r^2 h$. Ta có $1000\pi = \pi r^2 h \Rightarrow r^2 h = 1000 \Rightarrow h = \frac{1000}{r^2}$ (với $r > 0, h > 0$). Diện tích toàn phần của thùng (gồm 2 đáy và diện tích xung quanh) là $S_{tp} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. Thay $h = \frac{1000}{r^2}$ vào biểu thức diện tích toàn phần, ta được $S_{tp}(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{1000}{r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2000\pi}{r}$. Ta cần tìm $r > 0$ để $S_{tp}(r)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Đạo hàm $S'_{tp}(r) = 4\pi r - \frac{2000\pi}{r^2}$. Cho $S'_{tp}(r) = 0 \Rightarrow 4\pi r = \frac{2000\pi}{r^2} \Rightarrow 4 r^3 = 2000 \Rightarrow r^3 = 500 \Rightarrow r = \sqrt[3]{500} = 5\sqrt[3]{4}$. Để tìm mối liên hệ giữa $h$ và $r$, ta không cần tính giá trị cụ thể của $r$. Từ $4\pi r = \frac{2000\pi}{r^2}$, ta có $4\pi r^3 = 2000\pi$. Từ $V = \pi r^2 h = 1000\pi$, ta có $r^2 h = 1000$. Nhân phương trình $4\pi r^3 = 2000\pi$ với $\frac{1}{4\pi}$, ta được $r^3 = 500$. Nhân phương trình $r^2 h = 1000$ với $\frac{1}{2}$, ta được $\frac{1}{2} r^2 h = 500$. Vậy $r^3 = \frac{1}{2} r^2 h$. Vì $r > 0$, ta chia cả hai vế cho $r^2$, ta được $r = \frac{1}{2} h$, hay $h = 2r$. Xét dấu $S'_{tp}(r)$: $S'_{tp}(r) = 4\pi r - \frac{2000\pi}{r^2} = \frac{4\pi r^3 - 2000\pi}{r^2} = \frac{4\pi (r^3 - 500)}{r^2}$. $S'_{tp}(r) < 0$ khi $r^3 < 500 \Leftrightarrow r < \sqrt[3]{500}$. $S'_{tp}(r) > 0$ khi $r^3 > 500 \Leftrightarrow r > \sqrt[3]{500}$. Hàm $S_{tp}(r)$ đạt cực tiểu tại $r = \sqrt[3]{500}$. Đây chính là giá trị nhỏ nhất. Mối liên hệ giữa $h$ và $r$ tại điểm cực tiểu là $h = 2r$. Kết luận Giải thích: $h = 2r$.

Doanh thu hàng tuần là $R = p \cdot q$. Thay $q = 2000 - 40p$ vào, ta được hàm doanh thu theo giá $p$: $R(p) = p(2000 - 40p) = 2000p - 40p^2$. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm $R(p)$ trên đoạn $[10, 40]$. Đạo hàm của hàm doanh thu là $R'(p) = 2000 - 80p$. Cho $R'(p) = 0 \Rightarrow 2000 - 80p = 0 \Rightarrow 80p = 2000 \Rightarrow p = \frac{2000}{80} = 25$. Giá trị $p=25$ nằm trong đoạn $[10, 40]$. Ta tính giá trị của $R(p)$ tại điểm cực trị và các mút của đoạn: $R(25) = 2000(25) - 40(25)^2 = 50000 - 40(625) = 50000 - 25000 = 25000$. $R(10) = 2000(10) - 40(10)^2 = 20000 - 40(100) = 20000 - 4000 = 16000$. $R(40) = 2000(40) - 40(40)^2 = 80000 - 40(1600) = 80000 - 64000 = 16000$. So sánh các giá trị, ta thấy doanh thu lớn nhất là 25000 nghìn đồng, đạt được khi giá bán $p = 25$ nghìn đồng. Kết luận Giải thích: $p = 25$ nghìn đồng.

Gọi chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông là $x$ (m), $0 \le x \le 100$. Cạnh hình vuông là $a = x/4$. Diện tích hình vuông là $S_v = a^2 = (x/4)^2 = x^2/16$. Chiều dài đoạn dây còn lại là $100-x$ (m) được uốn thành hình tròn. Chu vi hình tròn là $C = 100-x$. Bán kính hình tròn là $r = C/(2\pi) = (100-x)/(2\pi)$. Diện tích hình tròn là $S_t = \pi r^2 = \pi \left(\frac{100-x}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{(100-x)^2}{4\pi^2} = \frac{(100-x)^2}{4\pi}$. Tổng diện tích là $S(x) = S_v + S_t = \frac{x^2}{16} + \frac{(100-x)^2}{4\pi}$. Ta cần tìm $x \in [0, 100]$ để $S(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Đạo hàm $S'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(100-x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{100-x}{2\pi}$. Cho $S'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x}{8} = \frac{100-x}{2\pi} \Rightarrow 2\pi x = 8(100-x) \Rightarrow \pi x = 4(100-x) \Rightarrow \pi x = 400 - 4x \Rightarrow (\pi+4)x = 400 \Rightarrow x = \frac{400}{\pi+4}$. Giá trị này nằm trong khoảng $[0, 100]$. Tính $S''(x) = \frac{1}{8} - \frac{-1}{2\pi} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi} > 0$. Vậy hàm đạt cực tiểu tại $x = \frac{400}{\pi+4}$. Tuy nhiên, ta cần xét giá trị trên đoạn $[0, 100]$. Giá trị nhỏ nhất có thể xảy ra tại cực tiểu hoặc tại các mút. $S(0) = \frac{0^2}{16} + \frac{(100-0)^2}{4\pi} = \frac{10000}{4\pi} = \frac{2500}{\pi}$. $S(100) = \frac{100^2}{16} + \frac{(100-100)^2}{4\pi} = \frac{10000}{16} = 625$. $S(\frac{400}{\pi+4}) = \frac{(\frac{400}{\pi+4})^2}{16} + \frac{(100-\frac{400}{\pi+4})^2}{4\pi} = \frac{\frac{160000}{(\pi+4)^2}}{16} + \frac{(\frac{100(\pi+4)-400}{\pi+4})^2}{4\pi} = \frac{10000}{(\pi+4)^2} + \frac{(\frac{100\pi}{\pi+4})^2}{4\pi} = \frac{10000}{(\pi+4)^2} + \frac{\frac{10000\pi^2}{(\pi+4)^2}}{4\pi} = \frac{10000}{(\pi+4)^2} + \frac{2500\pi}{(\pi+4)^2} = \frac{10000 + 2500\pi}{(\pi+4)^2} = \frac{2500(4+\pi)}{(\pi+4)^2} = \frac{2500}{4+\pi}$. So sánh các giá trị: $S(0) = \frac{2500}{\pi} \approx \frac{2500}{3.14} \approx 796$. $S(100) = 625$. $S(\frac{400}{\pi+4}) = \frac{2500}{4+\pi} \approx \frac{2500}{7.14} \approx 350$. Giá trị nhỏ nhất là $S(\frac{400}{\pi+4}) = \frac{2500}{4+\pi}$. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu kích thước của hai đoạn dây để tổng diện tích nhỏ nhất. Ta đã tìm được $x = \frac{400}{\pi+4}$ là điểm cực tiểu. Để tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn, ta so sánh giá trị tại điểm cực tiểu và hai mút. Ta thấy $S(\frac{400}{\pi+4})$ nhỏ nhất. Độ dài đoạn hình vuông là $x = \frac{400}{4+\pi}m$. Độ dài đoạn hình tròn là $100 - x = 100 - \frac{400}{\pi+4} = \frac{100(\pi+4) - 400}{\pi+4} = \frac{100\pi + 400 - 400}{\pi+4} = \frac{100\pi}{4+\pi}m$. Kết luận Giải thích: Đoạn hình vuông dài $\frac{400}{4+\pi}m$, đoạn hình tròn dài $\frac{100\pi}{4+\pi}m$.

Độ cao của viên đạn là $h(t) = 100t - 4.9t^2$. Vận tốc của viên đạn là đạo hàm của độ cao theo thời gian: $v(t) = h'(t) = \frac{d}{dt}(100t - 4.9t^2) = 100 - 4.9 \cdot 2t = 100 - 9.8t$. Vận tốc của viên đạn tại thời điểm $t=5$ giây là $v(5) = 100 - 9.8 \cdot 5 = 100 - 49 = 51$. Kết luận Vận tốc của viên đạn tại thời điểm $t=5$ giây là 51 m/s.

Hàm chi phí là $C(x) = 0.001x^2 + 5x + 100$. Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí: $C'(x) = \frac{d}{dx}(0.001x^2 + 5x + 100) = 0.001 \cdot 2x + 5 + 0 = 0.002x + 5$. Chi phí biên tại mức sản xuất 100 sản phẩm là $C'(100) = 0.002 \cdot 100 + 5 = 0.2 + 5 = 5.2$. Kết luận Chi phí biên tại mức sản xuất 100 sản phẩm là $C'(100) = 5.2$ triệu đồng.