Trắc nghiệm Toán học 12 Kết nối bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Tiệm cận ngang tồn tại nếu giới hạn của hàm số khi $x \to \pm\infty$ là một số hữu hạn. Xét các phương án: A. $y = x^3 - 3x + 1$. $\lim_{x \to \pm\infty} (x^3 - 3x + 1) = \pm\infty$. Không có tiệm cận ngang. B. $y = \frac{1}{x^2+1}$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2+1} = 0$. Có tiệm cận ngang $y=0$. C. $y = \frac{2x-5}{x+1}$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-5}{x+1} = 2$. Có tiệm cận ngang $y=2$. D. $y = \frac{x^2}{x-2}$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1 - 2/x} = \pm\infty$. Không có tiệm cận ngang. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu đồ thị *không* có tiệm cận ngang, và phương án A chắc chắn không có tiệm cận ngang vì giới hạn là vô cùng. Phương án D cũng không có tiệm cận ngang. Ta cần chọn phương án *chắc chắn* không có. Hàm đa thức bậc cao hơn hoặc bằng 1 luôn không có tiệm cận ngang. Hàm $y = x^3 - 3x + 1$ là hàm đa thức bậc 3. Kết luận: $y = x^3 - 3x + 1$

Tập xác định của hàm số là $x^2-x-6 > 0 \Leftrightarrow (x-3)(x+2) > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$. Xét tiệm cận đứng: Các điểm có thể có tiệm cận đứng là $x=-2$ và $x=3$. Tại $x=-2$, ta xét giới hạn khi $x \to -2^-$. $\lim_{x\to -2^-} \frac{x+2}{\sqrt{x^2-x-6}}$. Khi $x \to -2^-$, $x+2 \to 0^-$, $x^2-x-6 \to 0^+$. Giới hạn có dạng $\frac{0^-}{\sqrt{0^+}} = 0$. Vậy $x=-2$ không phải là tiệm cận đứng. Tại $x=3$, ta xét giới hạn khi $x \to 3^+$. $\lim_{x\to 3^+} \frac{x+2}{\sqrt{x^2-x-6}} = \frac{3+2}{\sqrt{3^+-3-6}} = \frac{5}{\sqrt{0^+}} = +\infty$. Vậy $x=3$ là tiệm cận đứng. Xét tiệm cận ngang: Ta tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$. $\lim_{x\to +\infty} \frac{x+2}{\sqrt{x^2-x-6}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x(1+2/x)}{\sqrt{x^2(1-1/x-6/x^2)}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x(1+2/x)}{|x|\sqrt{1-1/x-6/x^2}}$. Khi $x \to +\infty$, $|x|=x$. Giới hạn bằng $\lim_{x\to +\infty} \frac{1+2/x}{\sqrt{1-1/x-6/x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$. Vậy $y=1$ là tiệm cận ngang. Khi $x \to -\infty$, $|x|=-x$. Giới hạn bằng $\lim_{x\to -\infty} \frac{1+2/x}{-\sqrt{1-1/x-6/x^2}} = \frac{1}{-\sqrt{1}} = -1$. Vậy $y=-1$ là tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng ($x=3$) và 2 tiệm cận ngang ($y=1, y=-1$). Tổng cộng có 3 đường tiệm cận. Kết luận Đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.

Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm\infty$. Khi $x \to +\infty$, ta có $\sqrt{x^2+1} \sim \sqrt{x^2} = |x| = x$. Do đó, $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{x} = 3$. Đường thẳng $y=3$ là tiệm cận ngang khi $x \to +\infty$. Khi $x \to -\infty$, ta có $\sqrt{x^2+1} \sim \sqrt{x^2} = |x| = -x$. Do đó, $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{-x} = -3$. Đường thẳng $y=-3$ là tiệm cận ngang khi $x \to -\infty$. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y=3$ và $y=-3$. Kết luận: $y = 3$ và $y = -3$

Tập xác định của hàm số là $x^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2) > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Xét tiệm cận đứng: Các điểm có thể có tiệm cận đứng là $x=-2$ và $x=2$. Với $x=-2$, ta xét giới hạn khi $x\to -2^-$. $\lim_{x\to -2^-} \frac{x+1}{\sqrt{x^2 - 4}} = \frac{-2+1}{\sqrt{(-2^-)^2 - 4}} = \frac{-1}{\sqrt{4^+ - 4}} = \frac{-1}{\sqrt{0^+}} = -\infty$. Vậy $x=-2$ là tiệm cận đứng. Với $x=2$, ta xét giới hạn khi $x\to 2^+$. $\lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{\sqrt{x^2 - 4}} = \frac{2+1}{\sqrt{(2^+)^2 - 4}} = \frac{3}{\sqrt{4^+ - 4}} = \frac{3}{\sqrt{0^+}} = +\infty$. Vậy $x=2$ là tiệm cận đứng. Xét tiệm cận ngang: Ta tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$. $\lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x^2 - 4}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x(1+1/x)}{\sqrt{x^2(1-4/x^2)}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x(1+1/x)}{|x|\sqrt{1-4/x^2}}$. Khi $x \to +\infty$, $|x|=x$. Giới hạn bằng $\lim_{x\to +\infty} \frac{1+1/x}{\sqrt{1-4/x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$. Vậy $y=1$ là tiệm cận ngang. Khi $x \to -\infty$, $|x|=-x$. Giới hạn bằng $\lim_{x\to -\infty} \frac{1+1/x}{-\sqrt{1-4/x^2}} = \frac{1}{-\sqrt{1}} = -1$. Vậy $y=-1$ là tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng ($x=-2, x=2$) và 2 tiệm cận ngang ($y=1, y=-1$). Tổng cộng có 4 đường tiệm cận. Kết luận Đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

Để tìm tiệm cận đứng, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến về các giá trị làm mẫu số bằng 0. Mẫu số $x+3=0$ khi $x=-3$. Ta có $\lim_{x \to -3^+} \frac{2x-1}{x+3} = \frac{-7}{0^+} = -\infty$ và $\lim_{x \to -3^-} \frac{2x-1}{x+3} = \frac{-7}{0^-} = +\infty$. Do đó, đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến về $\pm\infty$. Ta có $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-1}{x+3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - 1/x}{1 + 3/x} = \frac{2}{1} = 2$. Do đó, đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Kết luận Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-3$, tiệm cận ngang $y=2$.

Tập xác định của hàm số là $e^x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow e^x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0$. Xét tiệm cận đứng: Điểm có thể có tiệm cận đứng là $x=0$. Ta tính giới hạn khi $x \to 0$. $\lim_{x\to 0^+} \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = \frac{e^0+1}{e^{0^+} - 1} = \frac{2}{1^+ - 1} = \frac{2}{0^+} = +\infty$. $\lim_{x\to 0^-} \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = \frac{e^0+1}{e^{0^-} - 1} = \frac{2}{1^- - 1} = \frac{2}{0^-} = -\infty$. Vậy $x=0$ là tiệm cận đứng. Xét tiệm cận ngang: Ta tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$. $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x(1 + e^{-x})}{e^x(1 - e^{-x})} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1 + e^{-x}}{1 - e^{-x}}$. Khi $x\to +\infty$, $e^{-x} \to 0$. Giới hạn bằng $\frac{1+0}{1-0} = 1$. Vậy $y=1$ là tiệm cận ngang. $\lim_{x\to -\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1}$. Khi $x\to -\infty$, $e^x \to 0$. Giới hạn bằng $\frac{0+1}{0-1} = -1$. Vậy $y=-1$ là tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng ($x=0$) và 2 tiệm cận ngang ($y=1, y=-1$). Tổng cộng có 3 đường tiệm cận. Kết luận Đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.

Hàm số đã cho là $y = \frac{x+2}{x^2 - 4} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$. Miền xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$. Xét giới hạn khi $x \to 2$. $\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$. Giới hạn này bằng $\infty$, nên $x=2$ là tiệm cận đứng. Xét giới hạn khi $x \to -2$. $\lim_{x \to -2} \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x-2} = \frac{1}{-2-2} = -\frac{1}{4}$. Vì giới hạn hữu hạn nên tại $x=-2$ đồ thị có 'lỗ hổng', không có tiệm cận đứng. Xét giới hạn khi $x \to \pm\infty$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+2}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1 + 2/x)}{x^2(1 - 4/x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} \frac{1 + 2/x}{1 - 4/x^2} = 0$. Do đó, đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang. Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng ($x=2$) và 1 tiệm cận ngang ($y=0$). Tổng cộng có 2 đường tiệm cận. Kết luận: 2

Để tìm tiệm cận đứng, ta xét giá trị làm mẫu số bằng 0: $x-1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng. Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn khi $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x-2}{x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(3 - 2/x)}{x(1 - 1/x)} = 3$. Đường thẳng $y=3$ là tiệm cận ngang. Giao điểm của đường tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=3$ là điểm có tọa độ $(1, 3)$. Kết luận: $(1, 3)$

Để tìm tiệm cận đứng, ta xét các giá trị làm mẫu số bằng 0: $x^2-4=0 \Leftrightarrow x=\pm 2$. Xét $x=2$: $\lim_{x \to 2^\pm} \frac{x^2+1}{x^2-4} = \frac{5}{0^\pm} = \pm\infty$. Vậy $x=2$ là tiệm cận đứng. Xét $x=-2$: $\lim_{x \to -2^\pm} \frac{x^2+1}{x^2-4} = \frac{5}{0^\pm} = \pm\infty$. Vậy $x=-2$ là tiệm cận đứng. Đồ thị có 2 tiệm cận đứng. Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn khi $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x^2-4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+1/x^2}{1-4/x^2} = \frac{1}{1} = 1$. Vậy $y=1$ là tiệm cận ngang. Đồ thị có 1 tiệm cận ngang. Tổng số đường tiệm cận là $2+1=3$. Kết luận Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Để tìm tiệm cận đứng, xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến các điểm làm mẫu số bằng 0. Mẫu số bằng 0 khi $x-3=0 \Leftrightarrow x=3$. Ta có $\lim_{x\to 3^+} \frac{2x+1}{x-3} = +\infty$ và $\lim_{x\to 3^-} \frac{2x+1}{x-3} = -\infty$. Do đó, đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Để tìm tiệm cận ngang, xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm\infty$. Ta có $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2}{1} = 2$. Do đó, đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Kết luận Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x=3$ và một đường tiệm cận ngang là $y=2$.

Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x-1}{x+3}$, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến về giá trị làm cho mẫu bằng 0 nhưng tử khác 0. Mẫu số $x+3 = 0$ khi $x = -3$. Thay $x = -3$ vào tử số ta được $2(-3)-1 = -7 \neq 0$. Do đó, đường thẳng $x = -3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Kết luận: $x = -3$

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Ta có $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}$. Với $x \ne 1$, $y = \frac{x-2}{x+1}$. Xét tiệm cận đứng: Tại $x=-1$, $\lim_{x\to -1^+} \frac{x-2}{x+1} = -\infty$, $\lim_{x\to -1^-} \frac{x-2}{x+1} = +\infty$. Vậy $x=-1$ là tiệm cận đứng. Tại $x=1$, $\lim_{x\to 1} \frac{x-2}{x+1} = \frac{1-2}{1+1} = -\frac{1}{2}$. Giới hạn này hữu hạn nên $x=1$ không phải là tiệm cận đứng (đồ thị có 'lỗ hổng' tại $x=1$). Xét tiệm cận ngang: $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1$. Vậy $y=1$ là tiệm cận ngang. Kết luận Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng $x=-1$ và một đường tiệm cận ngang $y=1$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{ax+b}{x-2}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$ khi và chỉ khi mẫu số bằng 0 tại $x=2$ và tử số khác 0 tại $x=2$ (hoặc giới hạn tại $x=2$ là vô cực). Mẫu số bằng 0 tại $x=2$. Để $x=2$ là tiệm cận đứng, ta cần $a(2)+b \ne 0$, tức là $2a+b \ne 0$. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-1$ khi và chỉ khi $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax+b}{x-2} = -1$. Ta có $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax+b}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a+b/x}{1-2/x} = \frac{a}{1} = a$. Do đó, ta cần $a = -1$. Thay $a=-1$ vào điều kiện $2a+b \ne 0$, ta được $2(-1)+b \ne 0 \Leftrightarrow -2+b \ne 0 \Leftrightarrow b \ne 2$. Vậy để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=-1$, ta cần $a=-1$ và $b \ne 2$. Kết luận $a=-1$ và $b \ne 2$.

Tập xác định của hàm số là $x \ne 1$. Ta viết lại hàm số dưới dạng phân nhánh: $y = \begin{cases} \frac{x+1}{x-1} & \text{khi } x \ge 0, x \ne 1 \\ \frac{-x+1}{x-1} & \text{khi } x < 0 \end{cases}$. Tiệm cận đứng: Xét điểm làm mẫu số bằng 0 là $x=1$. $\lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{0^+} = +\infty$. Do đó $x=1$ là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: Xét giới hạn khi $x \to \pm\infty$. Khi $x \to +\infty$ (thuộc nhánh $x \ge 0$): $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+1/x}{1-1/x} = 1$. Do đó $y=1$ là tiệm cận ngang. Khi $x \to -\infty$ (thuộc nhánh $x < 0$): $\lim_{x \to -\infty} \frac{-x+1}{x-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1+1/x}{1-1/x} = -1$. Do đó $y=-1$ là tiệm cận ngang. Kết luận Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1, y=-1$.

Tập xác định của hàm số là $x^2-1 > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. Tiệm cận đứng xảy ra tại các điểm biên của tập xác định mà hàm số tiến tới vô cùng. Xét $x=-1$: $\lim_{x \to -1^-} \frac{x-2}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$. Do đó $x=-1$ là tiệm cận đứng. Xét $x=1$: $\lim_{x \to 1^+} \frac{x-2}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$. Do đó $x=1$ là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang xảy ra khi $x \to \pm\infty$. Xét $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{\sqrt{x^2-1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1-2/x)}{\sqrt{x^2(1-1/x^2)}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1-2/x)}{x\sqrt{1-1/x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-2/x}{\sqrt{1-1/x^2}} = \frac{1}{1} = 1$. Do đó $y=1$ là tiệm cận ngang. Xét $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{\sqrt{x^2-1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1-2/x)}{\sqrt{x^2(1-1/x^2)}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1-2/x)}{|x|\sqrt{1-1/x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1-2/x)}{-x\sqrt{1-1/x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1-2/x}{-\sqrt{1-1/x^2}} = \frac{1}{-1} = -1$. Do đó $y=-1$ là tiệm cận ngang. Kết luận Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1, x=-1$, tiệm cận ngang $y=1, y=-1$.