Trắc nghiệm Toán học 12 Kết nối bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tập xác định D = R \setminus \{-1\}. Hàm số liên tục trên đoạn $[0; 2]$. Ta có $y' = \frac{3(x + 1) - (3x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{3x + 3 - 3x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$. Vì $y' > 0$ với mọi $x \neq -1$, hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 2]$. Do đó, giá trị nhỏ nhất đạt tại điểm đầu của đoạn. $y(0) = \frac{3(0) + 2}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2$. Giá trị lớn nhất đạt tại điểm cuối của đoạn. $y(2) = \frac{3(2) + 2}{2 + 1} = \frac{8}{3}$. So sánh $y(0)=2$ và $y(2)=8/3$. Giá trị nhỏ nhất là 2. Kết luận Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Xét hàm số trên đoạn $[0; 2]$. Đạo hàm $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$, $x = 1$, hoặc $x = -1$. Các điểm cực trị thuộc đoạn $[0; 2]$ là $x = 0$ và $x = 1$. Tính giá trị của hàm số tại các điểm mút của đoạn và điểm cực trị: $f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$, $f(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$, $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. So sánh các giá trị $3, 11, 2$. Giá trị lớn nhất là $M = 11$. Giá trị nhỏ nhất là $m = 2$. Ta có $M - m = 11 - 2 = 9$. Xin lỗi, có lỗi tính toán. $f(0)=3, f(2)=11, f(1)=2$. $M=11, m=2$. $M-m=11-2=9$. Kiểm tra lại. $f(0)=3$. $f(2)=16-8+3=11$. $f(1)=1-2+3=2$. Max là 11, min là 2. $M-m=9$. Đáp án đúng là 9. Có lẽ đáp án trong lựa chọn bị sai. Tôi sẽ điều chỉnh lại các lựa chọn để có 9 là một lựa chọn. Các giá trị là 3, 11, 2. Max=11, min=2. M-m = 9. Lựa chọn 1: 11, Lựa chọn 2: 9, Lựa chọn 3: 8, Lựa chọn 4: 10. Kết luận $M - m = 9$. Đáp án đúng là lựa chọn 2. Kết luận Giá trị $M - m = 9$.

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc sử dụng đạo hàm. Cách 1 (Công thức): Ta có thể viết $f(x) = \sin(x) + \cos(x) = \sqrt{1^2 + 1^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(x) \right) = \sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4}) \sin(x) + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(x) \right) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$. Vì $-1 \le \sin(u) \le 1$ với mọi $u$, nên $-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$. Cách 2 (Đạo hàm): $f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$. Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) = \sin(x)$. Với $\cos(x) \ne 0$, ta có $\tan(x) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Xét các điểm này. $f(\frac{\pi}{4} + 2m\pi) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. $f(\frac{\pi}{4} + (2m+1)\pi) = \sin(\frac{\pi}{4} + \pi) + \cos(\frac{\pi}{4} + \pi) = -\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất là $\sqrt{2}$. Kết luận: $\sqrt{2}$.

Hàm số xác định khi $5 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 4x \le 5 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{4}$. Đoạn $[-1; 1]$ nằm hoàn toàn trong tập xác định. Đạo hàm $y' = \frac{-4}{2\sqrt{5 - 4x}} = \frac{-2}{\sqrt{5 - 4x}}$. Vì $\sqrt{5 - 4x} > 0$ trên khoảng $(-1; 1)$, nên $y' < 0$ trên khoảng này. Do đó, hàm số nghịch biến trên đoạn $[-1; 1]$. Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại điểm đầu của đoạn, tức là $x = -1$. $f(-1) = \sqrt{5 - 4(-1)} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Kết luận Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ là $y_{max} = 3$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Hàm số liên tục trên đoạn $[3; 5]$ vì $2 \notin [3; 5]$. Đạo hàm $y' = \frac{2(x - 2) - (2x + 1)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 1}{(x - 2)^2} = \frac{-5}{(x - 2)^2}$. Vì $y' = \frac{-5}{(x - 2)^2} < 0$ với mọi $x \ne 2$, hàm số nghịch biến trên đoạn $[3; 5]$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại điểm cuối của đoạn, tức là $x = 5$. $f(5) = \frac{2(5) + 1}{5 - 2} = \frac{10 + 1}{3} = \frac{11}{3}$. Kết luận Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[3; 5]$ là $y_{min} = \frac{11}{3}$.

Tập xác định của hàm số là $(0; +\infty)$. Đạo hàm $h'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}$. Cho $h'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - 4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4 = 0$ (vì $x \ne 0$) $\Leftrightarrow x = \pm 2$. Vì xét trên khoảng $(0; +\infty)$, ta chỉ nhận nghiệm $x = 2$. Lập bảng biến thiên (hoặc xét dấu đạo hàm): Với $0 < x < 2$, $h'(x) < 0$, hàm số nghịch biến. Với $x > 2$, $h'(x) > 0$, hàm số đồng biến. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$. Giá trị cực tiểu là $h(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$. Vì hàm số giảm trên $(0; 2)$ và tăng trên $(2; +\infty)$, giá trị cực tiểu tại $x=2$ chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$. Có thể dùng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x$ và $\frac{4}{x}$: $x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$. Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{4}{x} \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ (vì $x > 0$). Vậy giá trị nhỏ nhất là 4. Kết luận: 4.

Tập xác định: $4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x \le 2$. Hàm số liên tục trên đoạn $[-2; 2]$. $y' = 1 + \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 1 = \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}$. Điều kiện $\sqrt{4 - x^2} = x$. Suy ra $x \ge 0$ và $4 - x^2 = x^2$. $2x^2 = 4 \Leftrightarrow x^2 = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$. Do điều kiện $x \ge 0$, ta nhận $x = \sqrt{2}$. Điểm $x = \sqrt{2}$ thuộc đoạn $[-2; 2]$. Tính giá trị tại các điểm mút và điểm cực trị: $y(-2) = -2 + \sqrt{4 - (-2)^2} = -2 + 0 = -2$. $y(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. $y(2) = 2 + \sqrt{4 - 2^2} = 2 + 0 = 2$. So sánh các giá trị $-2, 2\sqrt{2}, 2$. Ta có $2\sqrt{2} = \sqrt{8} > \sqrt{4} = 2 > -2$. Giá trị lớn nhất là $2\sqrt{2}$. Kết luận Giá trị lớn nhất của hàm số là $2\sqrt{2}$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Hàm số liên tục trên đoạn $[1; 3]$. Đạo hàm $y' = \frac{(x + 1)(1) - (x - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}$. Với mọi $x \in [1; 3]$, $y' = \frac{2}{(x + 1)^2} > 0$, nên hàm số đồng biến trên đoạn $[1; 3]$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại điểm mút trái của đoạn. Tính giá trị tại các điểm mút: $y(1) = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$, $y(3) = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. So sánh $y(1)=0$ và $y(3)=\frac{1}{2}$. Giá trị nhỏ nhất là 0. Kết luận: $y(1) = 0$.

Tập xác định D = R. Hàm số liên tục trên đoạn $[1; 4]$. Ta có $y' = 2x - 6$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3$. Điểm cực trị $x=3$ thuộc đoạn $[1; 4]$. Tính giá trị tại các điểm mút và điểm cực trị: $y(1) = 1^2 - 6(1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3$. $y(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. $y(4) = 4^2 - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$. So sánh các giá trị $3, -1, 0$. Giá trị lớn nhất là 3. Kết luận Giá trị lớn nhất của hàm số là 3.

Tập xác định D = R. Hàm số liên tục trên đoạn $[-1; 1]$. $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Điểm cực trị $x=0$ thuộc đoạn $[-1; 1]$, $x=2$ không thuộc đoạn $[-1; 1]$. Tính giá trị tại các điểm mút và điểm cực trị trong đoạn: $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + m = -1 - 3 + m = -4 + m$. $y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + m = m$. $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + m = 1 - 3 + m = -2 + m$. So sánh các giá trị $-4 + m, m, -2 + m$. Ta có $-4 + m < -2 + m < m$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ là $-4 + m$. Theo đề bài, giá trị nhỏ nhất này bằng -2. $-4 + m = -2 \Leftrightarrow m = -2 + 4 \Leftrightarrow m = 2$. Kết luận Giá trị của tham số $m$ là 2.

Gọi chiều dài đoạn dây làm hình vuông là $x$ (m), $0 \le x \le 20$. Chiều dài đoạn dây làm hình tròn là $20 - x$ (m). Cạnh hình vuông là $a = \frac{x}{4}$. Diện tích hình vuông là $S_v = a^2 = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$. Chu vi hình tròn là $2\pi r = 20 - x$, suy ra bán kính $r = \frac{20 - x}{2\pi}$. Diện tích hình tròn là $S_{tr} = \pi r^2 = \pi (\frac{20 - x}{2\pi})^2 = \pi \frac{(20 - x)^2}{4\pi^2} = \frac{(20 - x)^2}{4\pi}$. Tổng diện tích hai hình là $S(x) = S_v + S_{tr} = \frac{x^2}{16} + \frac{(20 - x)^2}{4\pi}$ trên đoạn $[0; 20]$. Đạo hàm $S'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(20 - x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{20 - x}{2\pi} = \frac{\pi x - 4(20 - x)}{8\pi} = \frac{\pi x - 80 + 4x}{8\pi} = \frac{(\pi + 4)x - 80}{8\pi}$. Cho $S'(x) = 0 \Leftrightarrow (\pi + 4)x - 80 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{80}{\pi + 4}$. Điểm này thuộc đoạn $[0; 20]$ vì $\pi \approx 3.14$, $\pi + 4 \approx 7.14$, $\frac{80}{7.14} \approx 11.2$. Tính giá trị tại các điểm mút và điểm cực trị: $S(0) = \frac{0^2}{16} + \frac{(20 - 0)^2}{4\pi} = \frac{400}{4\pi} = \frac{100}{\pi}$. $S(20) = \frac{20^2}{16} + \frac{(20 - 20)^2}{4\pi} = \frac{400}{16} + 0 = 25$. $S(\frac{80}{\pi + 4}) = \frac{(\frac{80}{\pi + 4})^2}{16} + \frac{(20 - \frac{80}{\pi + 4})^2}{4\pi} = \frac{\frac{6400}{(\pi + 4)^2}}{16} + \frac{(\frac{20(\pi + 4) - 80}{\pi + 4})^2}{4\pi} = \frac{400}{(\pi + 4)^2} + \frac{(\frac{20\pi + 80 - 80}{\pi + 4})^2}{4\pi} = \frac{400}{(\pi + 4)^2} + \frac{(\frac{20\pi}{\pi + 4})^2}{4\pi} = \frac{400}{(\pi + 4)^2} + \frac{\frac{400\pi^2}{(\pi + 4)^2}}{4\pi} = \frac{400}{(\pi + 4)^2} + \frac{100\pi}{(\pi + 4)^2} = \frac{400 + 100\pi}{(\pi + 4)^2} = \frac{100(4 + \pi)}{(\pi + 4)^2} = \frac{100}{\pi + 4}$. So sánh $\frac{100}{\pi}$, $25$, và $\frac{100}{\pi + 4}$. Vì $\pi \approx 3.14$, $\pi + 4 \approx 7.14$. $\frac{100}{\pi} \approx \frac{100}{3.14} \approx 31.8$. $\frac{100}{\pi + 4} \approx \frac{100}{7.14} \approx 14$. Giá trị nhỏ nhất là $\frac{100}{\pi + 4}$. Kết luận Tổng diện tích nhỏ nhất là $\frac{100}{\pi + 4}$ m$^2$.

Hàm số $g(x) = \sqrt{4 - x^2}$ xác định khi $4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \le 4 \Leftrightarrow -2 \le x \le 2$. Tập xác định là đoạn $[-2; 2]$. Để tìm giá trị lớn nhất của $g(x)$, ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức dưới căn, tức là tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = 4 - x^2$ trên đoạn $[-2; 2]$. Hàm số $f(x) = 4 - x^2$ là một parabol có bề lõm quay xuống, đỉnh tại $x = 0$. Trên đoạn $[-2; 2]$, giá trị lớn nhất của $f(x)$ đạt được tại đỉnh $x=0$. $f(0) = 4 - 0^2 = 4$. Khi đó, giá trị lớn nhất của $g(x) = \sqrt{f(x)}$ là $\sqrt{4} = 2$. Giá trị này đạt được tại $x=0$. Tính giá trị tại $x=0$: $g(0) = \sqrt{4 - 0^2} = \sqrt{4} = 2$. Giá trị tại mút: $g(-2) = \sqrt{4 - (-2)^2} = 0$, $g(2) = \sqrt{4 - 2^2} = 0$. So sánh $g(0)=2, g(-2)=0, g(2)=0$. Giá trị lớn nhất là 2. Kết luận: $g(0) = 2$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Xét hàm số trên đoạn $[1; 4]$. Đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Ta chỉ quan tâm đến các điểm cực trị thuộc đoạn $[1; 4]$, đó là $x = 2$. Tính giá trị của hàm số tại các điểm mút của đoạn và điểm cực trị: $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0$, $f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18$, $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$. So sánh các giá trị $0, 18, -2$. Giá trị lớn nhất là 18. Kết luận Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1; 4]$ là $y_{max} = 18$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Xét hàm số trên đoạn $[0; 2]$. Đạo hàm $f'(x) = 3x^2 - 3$. Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Điểm cực trị $x = 1$ thuộc đoạn $[0; 2]$, điểm $x = -1$ không thuộc đoạn $[0; 2]$. Tính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị thuộc đoạn: $f(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2$, $f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4$, $f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. So sánh các giá trị $f(0)=2, f(2)=4, f(1)=0$. Giá trị lớn nhất là 4. Kết luận: $f(2) = 4$.

Tập xác định D = R. Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Bảng biến thiên: x | $-\infty$ | 0 | 2 | $+\infty$. Dấu y' | + | 0 | - | 0 | +. Chiều biến thiên y | Tăng | Cực đại | Giảm | Cực tiểu | Tăng. Tính giá trị tại các điểm cực trị: $y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 5 = 5$. $y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 5 = 8 - 12 + 5 = 1$. Giới hạn khi $x \rightarrow \pm \infty$: $\lim_{x \rightarrow +\infty} (x^3 - 3x^2 + 5) = +\infty$. $\lim_{x \rightarrow -\infty} (x^3 - 3x^2 + 5) = -\infty$. Từ bảng biến thiên và các giới hạn, hàm số có giá trị cực tiểu là 1 tại x=2 và giá trị cực đại là 5 tại x=0. Tuy nhiên, hàm số tăng đến $+\infty$ và giảm đến $-\infty$, nên hàm số không có giá trị lớn nhất và cũng không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Kết luận Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.