Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, và $y'$ chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm. Đạo hàm $y' = 3x^2 - 2mx + 3$. Đây là tam thức bậc hai với hệ số $a=3 > 0$. Để $y' \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, điều kiện là $\Delta' \le 0$. $\Delta' = (-m)^2 - 3 \cdot 3 = m^2 - 9$. $\Delta' \le 0 \Leftrightarrow m^2 - 9 \le 0 \Leftrightarrow (m-3)(m+3) \le 0 \Leftrightarrow -3 \le m \le 3$. Khi $m=\pm 3$, $y'$ có nghiệm kép, $y'$ vẫn $\ge 0$ và chỉ bằng 0 tại 1 điểm duy nhất, đảm bảo tính đồng biến. Kết luận Giải thích: $-3 \le m \le 3$.

Ta có $f'(x) = (x-1)^2(x^2-4x+3) = (x-1)^2(x-1)(x-3) = (x-1)^3(x-3)$. Các nghiệm của $f'(x)=0$ là $x=1$ (nghiệm bội 3) và $x=3$ (nghiệm bội 1). Để xác định cực trị, ta xét sự đổi dấu của $f'(x)$ khi qua các nghiệm. Tại $x=3$, $(x-3)$ đổi dấu từ âm sang dương (khi $x$ tăng qua 3), $(x-1)^3$ dương (khi $x$ gần 3). Vậy $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=3$, hàm số đạt cực tiểu. Tại $x=1$, $(x-1)^3$ đổi dấu từ âm sang dương (khi $x$ tăng qua 1), $(x-3)$ âm (khi $x$ gần 1). Vậy $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=1$, hàm số đạt cực đại. Hàm số có cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=3$. Kết luận: Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

Tính đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$. Cho $y' = 0$, ta được $3x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu đạo hàm $y'$. $y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$. $y' < 0$ khi $0 < x < 2$. Hàm số đồng biến trên các khoảng mà $y' > 0$. Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.

Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ khi và chỉ khi $x=1$ là điểm cực trị của hàm số. Điều kiện cần để $x=1$ là điểm cực trị là $y'(1) = 0$. Tính đạo hàm $y' = 3x^2 - 6mx + 3m^2 - 1$. Thay $x=1$ vào $y'$, ta có $y'(1) = 3(1)^2 - 6m(1) + 3m^2 - 1 = 3 - 6m + 3m^2 - 1 = 3m^2 - 6m + 2$. Cho $y'(1) = 0$, ta được phương trình $3m^2 - 6m + 2 = 0$. Giải phương trình bậc hai này, ta có $m = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Điều kiện đủ (y' đổi dấu tại x=1) luôn đúng vì y' là tam thức bậc hai có delta' > 0 với mọi m, nên y'=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Kết luận: Giá trị của tham số $m$ là $1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Tính đạo hàm $y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2-1)$. Hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$ khi $y' \ge 0$ với mọi $x \in (2; +\infty)$. $y' = 3(x^2 - 2mx + m^2 - 1)$. Xét tam thức bậc hai $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 1$. Ta cần $f(x) \ge 0$ với mọi $x \in (2; +\infty)$. Tam thức này có $\Delta' = (-m)^2 - (m^2-1) = 1 > 0$. Phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2} = m \pm 1$. Ta có $x_1 = m-1, x_2 = m+1$. Vì hệ số của $x^2$ là $1 > 0$, $f(x) \ge 0$ khi $x \le m-1$ hoặc $x \ge m+1$. Để hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$, ta cần $[2; +\infty) \subseteq (-\infty, m-1] \cup [m+1, +\infty)$. Điều này xảy ra khi $m+1 \le 2$, tức là $m \le 1$. Kết luận: $m \le 1$.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Tính đạo hàm $y' = \frac{2(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$. Với mọi $x \in D$, ta có $(x-1)^2 > 0$, do đó $y' = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số không có cực trị. Kết luận: Hàm số không có cực trị.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. Tính đạo hàm $y' = \frac{2(x-3) - 1(2x+1)}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}$. Với mọi $x \in D$, $(x-3)^2 > 0$, do đó $y' = \frac{-7}{(x-3)^2} < 0$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y' = 4x^3 - 4x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x=0, x=1, x=-1$. Các nghiệm này là đơn. Bảng xét dấu $y'$ cho thấy $y'$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1, x=0, x=1$. Tại $x=-1$, $y'$ đổi dấu từ âm sang dương (cực tiểu). Tại $x=0$, $y'$ đổi dấu từ dương sang âm (cực đại). Tại $x=1$, $y'$ đổi dấu từ âm sang dương (cực tiểu). Có 3 điểm mà tại đó đạo hàm đổi dấu. Kết luận Giải thích: 3 điểm.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm cấp một $y' = 3x^2 - 3m$. Đạo hàm cấp hai $y'' = 6x$. Để hàm số đạt cực trị tại $x=1$, điều kiện cần là $y'(1) = 0$. $y'(1) = 3(1)^2 - 3m = 3 - 3m$. $y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3 - 3m = 0 \Leftrightarrow m=1$. Với $m=1$, $y' = 3x^2 - 3$. $y'' = 6x$. Tại $x=1$, $y''(1) = 6(1) = 6$. Vì $y'(1)=0$ và $y''(1)=6 > 0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. Kết luận Giải thích: $m=1$.

Tính đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$. Tìm nghiệm $y'=0$, ta có $3x(x-2)=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu $y'$: $y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$. $y' < 0$ khi $0 < x < 2$. Hàm số đồng biến trên các khoảng mà $y' > 0$. Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.

Tính đạo hàm $y' = 4x^3 - 4x$. Cho $y' = 0$, ta được $4x(x^2-1) = 0 \Leftrightarrow x=0, x=1, x=-1$. Xét dấu đạo hàm $y'$. Ta thấy $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ và $x=1$. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$. Giá trị cực tiểu là $y(-1) = 2$ và $y(1) = 2$. Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm có hoành độ $x = -1$ và $x = 1$.

Theo định lý về mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số, nếu đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc một khoảng $(a,b)$, thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng đó. Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x$ thuộc khoảng $(a,b)$, thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng đó. Nếu $f'(x) = 0$ với mọi $x$ thuộc khoảng $(a,b)$, thì hàm số $f(x)$ là hàm hằng trên khoảng đó. Mệnh đề "Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc khoảng $(a,b)$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng đó" là đúng. Kết luận: Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc khoảng $(a,b)$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng đó.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Đạo hàm $y' = \frac{2(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$. Với mọi $x \in D$, $(x-1)^2 > 0$, nên $y' = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0$. Vì đạo hàm $y'$ luôn âm trên từng khoảng xác định của hàm số, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Kết luận Giải thích: Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu đạo hàm $y'$: $y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$; $y' < 0$ khi $0 < x < 2$. Hàm số đồng biến trên các khoảng mà $y' > 0$. Kết luận Giải thích: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$ vì $x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 > 0$ với mọi $x$. Tính đạo hàm $y' = \frac{(x^2 - 4x + 5)'}{2\sqrt{x^2 - 4x + 5}} = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x + 5}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}}$. Xét dấu $y'$: Mẫu số luôn dương. $y' < 0 \Leftrightarrow x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$. Hàm số nghịch biến trên khoảng mà $y' < 0$. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$.